Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Also guten Morgen. Hier sehen Sie Bilder von Koshi und die zeige ich jetzt am Anfang,

damit wir nicht gleich lange umschalten müssen. Wir sprechen ja im Moment über

Folgen reeller Zahlen und haben da auch schon die Konvergenz von Folgen definiert.

In der Definition der Konvergenz kommt aber der Grenzwert schon vor, der Grenzwert gegen

die Folge strebt und manchmal kennt man ja diesen Grenzwert nicht und möchte trotzdem wissen,

ob diese Folge konvergent ist. Dazu hatten wir in der letzten Vorlesung ein Kriterium,

also wenn wir so eine Folge an haben und wenn diese Folge beschränkt ist und monoton,

dann folgt diese Folge an ist konvergent. Also das ist so ein Kriterium, das Monotonikriterium,

wo der Grenzwert nicht vorkommt und der Herr Koshi, der gibt den Namen für ein allgemeineres

Kriterium, das genau die konvergenten Folgen charakterisiert, ohne dass dabei der Grenzwert

gegen den die Folge strebt bekannt sein muss und dazu kommen wir später. Dieses Kriterium

hatten wir in der letzten Vorlesung, also ein hinreichendes Konvergenzkriterium,

das Monotonikriterium, wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann ist sie konvergent. Es gilt

ja, wenn eine Folge konvergent ist, dann muss sie immer beschränkt sein, aber um die Umkehrung zu

haben, also um von der Beschränktheit auf die Konvergenz zu kommen, braucht man zusätzlich

noch die Monotonie zum Beispiel, um dann eine hinreichende Bedingung für diese Konvergenz zu

haben. Wir hatten dann noch ein weiteres Konvergenzkriterium gesehen, das Sandwich

Lemma. Da schachtelt man eine Folge Cn ein zwischen zwei anderen Folgen, also man hat

insgesamt drei Folgen, An kleiner gleich Cn kleiner gleich Bn und man weiß die Folge An

und die Folge Bn ist konvergent und diese Folgen streben beide gegen den Grenzwert A für n gegen

unendlich, also beide streben gegen den gleichen bekannten Grenzwert A. Dann folgt aus der Konvergenz

der A1 und der Bn auch die Konvergenz dieser mittleren eingeschachtelten Folge, also dann

folgt die Folge Cn, ist auch konvergent und der Grenzwert für n gegen unendlich dieser Cn ist

ebenfalls gleich A. Man kann sich das so vorstellen, dass man die Ans als Deckel hat und die Bns als

Boden und die drücken die Cns zusammen und das Intervall, das für die Cns übrig bleibt, wird

immer kleiner und deshalb werden die Cns so eingepresst, dass sie dann auch konvergieren

müssen gegen das A. Das sagt dieses Sandwich Lemma und das können wir noch mal jetzt für

eine Beispielfolge anwenden. Wir haben ja schon einen ganzen Katalog von bekannten Grenzwerten

gesehen und jetzt noch ein weiterer wichtiger Grenzwert. Es gilt Limes für n gegen unendlich, n hoch

1 durch n ist gleich 1. Das 1 durch n konvergiert ja für n gegen unendlich gegen die 0 und die 1

ist ja auch n hoch 0. Also so kann man sich das merken. Hier ist es halt so, obwohl die

Ans größer und größer werden, die gehen ja gegen unendlich, ist der Grenzwert hier trotzdem 1 und

das wird verursacht durch die Entewuchzel hier durch das hoch 1 durch n. Und das wollen wir jetzt

auch nachweisen und dazu kann man dieses Sandwich Lemma verwenden. Diesen Einschließungssatz, das

Einschließungskriterium. Wir brauchen also so eine eingeschachtelte Folge und da ziehen wir von dem

n hoch 1 durch n die 1 ab. Zum Beweis betrachten wir die Folge mit den Gliedern c n gleich n hoch 1

durch n minus 1. Wir wollen dann zeigen, dass das eine Nullfolge ist, also dass diese Folge

gegen die Null konvergiert. Und n hoch 1 durch n kann man gut mit der 1 vergleichen. Die ns sind

ja immer größer gleich 1 und wenn man dann davon die Entewuchzel nimmt, dann ist es immer noch so

angeordert. Also diese c ns sind alle positiv. Dann gilt für alle n aus n c n größer gleich

0. Das ist äquivalent zu n hoch 1 durch n größer gleich 1. Und das kann man hoch n nehmen und das

ist äquivalent zu n größer gleich 1 hoch n. Also 1 hoch n ist aber immer 1 daran liegt das. Also das

ist ihnen klar, die c ns sind immer positiv. Also wenn die Folge c n konvergent ist, dann muss der

Grenzwert auf jeden Fall größer gleich 0 sein, weil die Folgenglieder alle größer gleich 0 sind. Und

jetzt brauchen wir noch eine obere Schranke für die c ns. Und dazu machen wir eine trückreiche

Darstellung. Also es gilt ja n gleich n hoch 1 durch n und dann das ganze wieder hoch n. Denn n durch n

ist ja 1 und n hoch 1 ist genau n. Und hier können sie jetzt eine 1 addieren und eine 1 abziehen,

dann verändert sich ja nichts. Und wir untersuchen hier dieses n hoch 1 durch n minus 1, das sind

gerade unsere c ns. Also das ist 1 plus c n hoch n. Und das hat jetzt die Form eines Binoms. Also